Up to date

This page is up to date for Godot 4.2. If you still find outdated information, please open an issue.

Wektory

Wprowadzenie

Ten samouczek jest krótkim i praktycznym wprowadzeniem do algebry liniowej w zakresie tworzenia gier. Algebra liniowa jest badaniem wektorów i ich zastosowań. Wektory mają wiele zastosowań zarówno w 2D, jak i 3D, a Godot używa ich w szerokim zakresie. Dobre zrozumienie matematyki wektorowej jest niezbędne, aby stać się potężnym twórcą gier.

Informacja

Ten samouczek nie jest formalnym podręcznikiem na temat algebry liniowej. Będziemy się przyglądać tylko temu, w jaki sposób jest ona stosowany do tworzenia gier. Szersze spojrzenie ten poddział matematyki można znaleźć na stronie https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

Układy współrzędnych (2D)

W przestrzeni 2D współrzędne są definiowane za pomocą osi poziomej ( x) i osi pionowej ( y). Położenie w przestrzeni 2D jest zapisywane jako para wartości takich jak (4, 3).

../../_images/vector_axis1.png

Informacja

Jeśli jesteś nowicjuszem w grafice komputerowej, może wydawać się dziwne, że dodatnie wartości osi y są skierowane w dół zamiast w górę, jak prawdopodobnie uczyliście się na lekcji matematyki. Jest to jednak powszechne w większości aplikacji graficznych.

W ten sposób można zidentyfikować dowolne położenie w płaszczyźnie 2D za pomocą pary liczb. Jednakże możemy również myśleć o pozycji (4, 3) jako przesunięcie od punktu (0, 0) lub źródło. Narysuj strzałkę wskazującą od początku do końca:

../../_images/vector_xy1.png

This is a vector. A vector represents a lot of useful information. As well as telling us that the point is at (4, 3), we can also think of it as an angle θ (theta) and a length (or magnitude) m. In this case, the arrow is a position vector - it denotes a position in space, relative to the origin.

Bardzo ważną kwestią, którą należy wziąć pod uwagę w przypadku wektorów, jest to, że reprezentują one jedynie względny kierunek i wielkość. Nie istnieje pojęcie pozycji wektora. Następujące dwa wektory są identyczne:

../../_images/vector_xy2.png

Oba wektory reprezentują punkt to samo, 4 jednostki w prawą stronę i 3 jednostki w dół od pewnego punktu początkowego. Nie ma znaczenia, gdzie na płaszczyźnie rysujesz wektor, zawsze reprezentuje on względny kierunek i wielkość.

Vector operations

You can use either method (x and y coordinates or angle and magnitude) to refer to a vector, but for convenience, programmers typically use the coordinate notation. For example, in Godot, the origin is the top-left corner of the screen, so to place a 2D node named Node2D 400 pixels to the right and 300 pixels down, use the following code:

$Node2D.position = Vector2(400, 300)

Godot supports both Vector2 and Vector3 for 2D and 3D usage, respectively. The same mathematical rules discussed in this article apply to both types, and wherever we link to Vector2 methods in the class reference, you can also check out their Vector3 counterparts.

Member access

Poszczególne komponenty wektora są dostępne bezpośrednio po nazwie.

# Create a vector with coordinates (2, 5).
var a = Vector2(2, 5)
# Create a vector and assign x and y manually.
var b = Vector2()
b.x = 3
b.y = 1

Dodawanie wektorów

Podczas dodawania lub odejmowania dwóch wektorów dodawane są odpowiednie składniki:

var c = a + b  # (2, 5) + (3, 1) = (5, 6)

Widzimy to również wizualnie, dodając drugi wektor na końcu pierwszego:

../../_images/vector_add1.png

Należy pamiętać, że dodanie a + b daje taki sam rezultat jak b + a.

Mnożenie skalarne

Informacja

Vectors represent both direction and magnitude. A value representing only magnitude is called a scalar. Scalars use the float type in Godot.

Wektor można pomnożyć przez skalar:

var c = a * 2  # (2, 5) * 2 = (4, 10)
var d = b / 3  # (3, 6) / 3 = (1, 2)
var e = d * -2 # (1, 2) * -2 = (-2, -4)
../../_images/vector_mult1.png

Informacja

Multiplying a vector by a positive scalar does not change its direction, only its magnitude. Multiplying with a negative scalar results in a vector in the opposite direction. This is how you scale a vector.

Praktyczne zastosowania

Przyjrzyjmy się dwóm powszechnym zastosowaniom dodawania i odejmowania wektorów.

Ruch

A vector can represent any quantity with a magnitude and direction. Typical examples are: position, velocity, acceleration, and force. In this image, the spaceship at step 1 has a position vector of (1, 3) and a velocity vector of (2, 1). The velocity vector represents how far the ship moves each step. We can find the position for step 2 by adding the velocity to the current position.

../../_images/vector_movement1.png

Wskazówka

Velocity measures the change in position per unit of time. The new position is found by adding the velocity multiplied by the elapsed time (here assumed to be one unit, e.g. 1 s) to the previous position.

In a typical 2D game scenario, you would have a velocity in pixels per second, and multiply it by the delta parameter (time elapsed since the previous frame) from the _process() or _physics_process() callbacks.

Pointing toward a target

In this scenario, you have a tank that wishes to point its turret at a robot. Subtracting the tank's position from the robot's position gives the vector pointing from the tank to the robot.

../../_images/vector_subtract2.webp

Wskazówka

To find a vector pointing from A to B, use B - A.

Unit vectors

A vector with magnitude of 1 is called a unit vector. They are also sometimes referred to as direction vectors or normals. Unit vectors are helpful when you need to keep track of a direction.

Normalizacja

Normalizing a vector means reducing its length to 1 while preserving its direction. This is done by dividing each of its components by its magnitude. Because this is such a common operation, Godot provides a dedicated normalized() method for this:

a = a.normalized()

Ostrzeżenie

Because normalization involves dividing by the vector's length, you cannot normalize a vector of length 0. Attempting to do so would normally result in an error. In GDScript though, trying to call the normalized() method on a vector of length 0 leaves the value untouched and avoids the error for you.

Odbicie

A common use of unit vectors is to indicate normals. Normal vectors are unit vectors aligned perpendicularly to a surface, defining its direction. They are commonly used for lighting, collisions, and other operations involving surfaces.

Wyobraźmy sobie na przykład, że mamy ruchomą kulę, którą chcemy odbić od ściany lub innego obiektu:

../../_images/vector_reflect1.png

The surface normal has a value of (0, -1) because this is a horizontal surface. When the ball collides, we take its remaining motion (the amount left over when it hits the surface) and reflect it using the normal. In Godot, there is a bounce() method to handle this. Here is a code example of the above diagram using a CharacterBody2D:

var collision: KinematicCollision2D = move_and_collide(velocity * delta)
if collision:
    var reflect = collision.get_remainder().bounce(collision.get_normal())
    velocity = velocity.bounce(collision.get_normal())
    move_and_collide(reflect)

Iloczyn skalarny

Wartość skalarna jest jednym z najważniejszych pojęć w matematyce wektorowej, ale często jest źle rozumiany. Wartość skalarna to operacja na dwóch wektorach, która zwraca skalar. W przeciwieństwie do wektora, który zawiera zarówno wielkość, jak i kierunek, wartość skalarna ma tylko wielkość.

The formula for dot product takes two common forms:

../../_images/vector_dot1.png

i

../../_images/vector_dot2.png

The mathematical notation ||A|| represents the magnitude of vector A, and Ax means the x component of vector A.

However, in most cases it is easiest to use the built-in dot() method. Note that the order of the two vectors does not matter:

var c = a.dot(b)
var d = b.dot(a)  # These are equivalent.

The dot product is most useful when used with unit vectors, making the first formula reduce to just cos(θ). This means we can use the dot product to tell us something about the angle between two vectors:

../../_images/vector_dot3.png

Przy zastosowaniu wektorów jednostkowych wynik zawsze będzie pomiędzy -1 (180°) a 1 (0°).

Facing

We can use this fact to detect whether an object is facing toward another object. In the diagram below, the player P is trying to avoid the zombies A and B. Assuming a zombie's field of view is 180°, can they see the player?

../../_images/vector_facing2.png

The green arrows fA and fB are unit vectors representing the zombie's facing direction and the blue semicircle represents its field of view. For zombie A, we find the direction vector AP pointing to the player using P - A and normalize it, however, Godot has a helper method to do this called direction_to(). If the angle between this vector and the facing vector is less than 90°, then the zombie can see the player.

In code it would look like this:

var AP = A.direction_to(P)
if AP.dot(fA) > 0:
    print("A sees P!")

Cross product

Like the dot product, the cross product is an operation on two vectors. However, the result of the cross product is a vector with a direction that is perpendicular to both. Its magnitude depends on their relative angle. If two vectors are parallel, the result of their cross product will be a null vector.

../../_images/vector_cross1.png ../../_images/vector_cross2.png

The cross product is calculated like this:

var c = Vector3()
c.x = (a.y * b.z) - (a.z * b.y)
c.y = (a.z * b.x) - (a.x * b.z)
c.z = (a.x * b.y) - (a.y * b.x)

With Godot, you can use the built-in Vector3.cross() method:

var c = a.cross(b)

The cross product is not mathematically defined in 2D. The Vector2.cross() method is a commonly used analog of the 3D cross product for 2D vectors.

Informacja

In the cross product, order matters. a.cross(b) does not give the same result as b.cross(a). The resulting vectors point in opposite directions.

Calculating normals

One common use of cross products is to find the surface normal of a plane or surface in 3D space. If we have the triangle ABC we can use vector subtraction to find two edges AB and AC. Using the cross product, AB × AC produces a vector perpendicular to both: the surface normal.

Here is a function to calculate a triangle's normal:

func get_triangle_normal(a, b, c):
    # Find the surface normal given 3 vertices.
    var side1 = b - a
    var side2 = c - a
    var normal = side1.cross(side2)
    return normal

Pointing to a target

In the dot product section above, we saw how it could be used to find the angle between two vectors. However, in 3D, this is not enough information. We also need to know what axis to rotate around. We can find that by calculating the cross product of the current facing direction and the target direction. The resulting perpendicular vector is the axis of rotation.

More information

Więcej informacji na temat używania matematyki wektorowej w Godocie można znaleźć w poniższych artykułach: