贝塞尔, 曲线和路径

贝塞尔曲线是一种自然几何形状的数学近似. 我们用它们来代表一个曲线, 含有尽可能少的信息, 保持高水平的灵活性.

不像抽象的数学概念, 贝塞尔曲线是为工业设计. 它们是图形软件行业中的流行工具.

它们依赖于 插值, 我们在上一篇文章中看到, 如何结合多个步骤来创建平滑的曲线. 为了更好地理解贝塞尔曲线的工作原理, 我们从最简单的形式开始: 二次贝塞尔曲线.

二次贝塞尔曲线

取三个点, 这是建立二次贝塞尔曲线所需的最小值:

../../_images/bezier_quadratic_points.png

为了在它们之间画一条曲线, 我们首先在由这三个点构成的两个线段的每个顶点上逐步插值, 使用0到1之间的值. 当我们把 "t" 值从0变成1时, 就给出两个沿着线段移动的点.

func _quadratic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, t: float):
    var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
    var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)

然后, 我们插值 "q0" 和 "q1", 以获得沿着曲线移动的单点 "r".

var r = q0.linear_interpolate(q1, t)
return r

这种类型就被称为 二次贝塞尔 曲线.

../../_images/bezier_quadratic_points2.gif

(图像来源: 维基百科)

三次贝塞尔曲线

基于前面的例子, 我们可以通过在四个点之间插值得到更多的控制.

../../_images/bezier_cubic_points.png

首先我们使用一个带有四个参数的函数, 以四个点作为输入,"p0","p1","p2" 和 "p3":

func _cubic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, p3: Vector2, t: float):

我们对每两个点进行线性插值, 将它们减少到三个:

var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)
var q2 = p2.linear_interpolate(p3, t)

然后我们把这三个点缩减为两个点:

var r0 = q0.linear_interpolate(q1, t)
var r1 = q1.linear_interpolate(q2, t)

然后到一个:

var s = r0.linear_interpolate(r1, t)
return s

这里给出了完整的函数:

func _cubic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, p3: Vector2, t: float):
    var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
    var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)
    var q2 = p2.linear_interpolate(p3, t)

    var r0 = q0.linear_interpolate(q1, t)
    var r1 = q1.linear_interpolate(q2, t)

    var s = r0.linear_interpolate(r1, t)
    return s

结果将是在所有四个点之间的平滑曲线插值:

../../_images/bezier_cubic_points.gif

(图像来源: 维基百科)

注解

三次贝塞尔插值在三维中也是一样的, 只需使用 "三维向量" 而不是 "二维向量".

添加控制点

在三次贝塞尔的基础上, 我们可以改变两个点的工作方式, 来自由地控制曲线的形状. 我们不使用 "p0" , "p1" , "p2" 和 "p3", 而是将它们存储为:

  • "point0 = p0": 是第一个点, 即源

  • "control0 = p1 - p0": 是相对于第一个控制点的向量

  • "control1 = p3 - p2": 是相对于第二个控制点的向量

  • "point1 = p3": 是第二个点, 即终点

使用这种方式, 有两个点和两个控制点, 它们是各自点的相对向量. 如果你以前用过图形或动画软件, 这可能看起来很熟悉:

../../_images/bezier_cubic_handles.png

这就是图形软件如何向用户呈现贝塞尔曲线, 以及它们在Godot引擎内的工作原理.

二维曲线, 三维曲线, 路径和二维路径

有两个对象包含曲线 Curve3DCurve2D (分别代表3D和2D).

它们可以包含几个点, 允许更长的路径. 也可以将它们设置为节点: 路径二维路径 (在三维和二维内都适用):

../../_images/bezier_path_2d.png

然而使用它们, 可能不是很明显, 下面是对贝塞尔曲线最常见用例的描述.

评估

评估它们可能是一种选择, 但在大多数情况下, 它不是很有用. 贝塞尔曲线最大的缺点是如果你以恒定的速度穿过它们, 从"t = 0"到"t = 1", 实际的插值不会以恒定的速度移动. 速度也是点 "p0" , "p1" , "p2" , "p3" 之间距离的插值, 没有一个简单的数学方法以恒定的速度通过曲线.

让我们用下面的伪代码举个简单的例子:

var t = 0.0

func _process(delta):
    t += delta
    position = _cubic_bezier(p0, p1, p2, p3, t)
../../_images/bezier_interpolation_speed.gif

如你所见, 圆的速度(以像素/秒为单位)变化, 即使 "t" 值以恒定的速度递增. 这也使贝塞尔难以任何实际的开箱即用.

绘制

绘制贝塞尔(或基于曲线的对象)是很常见的用例, 但这也不容易. 几乎在任何情况下, 贝塞尔曲线需要被转换成某种线段. 这通常很难, 然而, 并没有创建非常高数量的线段.

原因是曲线的某些部分(具体来说是角落)可能需要相当多的点, 而其他部分不一定:

../../_images/bezier_point_amount.png

另外, 如果两个控制点都是 "0,0"(请记住它们是相对向量), 贝塞尔曲线就是一条直线(所以画很多点就是在浪费时间).

在绘制贝塞尔曲线之前, 需要进行 细分 . 这通常是用递归函数或除法函数来完成的, 它可以分割曲线, 直到曲率变得小于某个阈值.

Curve 类通过 Curve2D.tessellate() 函数来提供该功能(函数接收可选的 stages 递归和角度 tolerance 参数). 这样一来, 基于曲线画东西就比较容易了.

遍历

最后曲线最常见的用例是遍历. 因为之前提到关于匀速的内容, 这也是困难的.

为了操作起来更方便,需要先把曲线 烘焙 成若干等距的点。这样就可以用常规的插值操作(还可以使用立方选项进一步优化)来进行近似估值了。要实现这样的效果,只需调用 Curve.interpolate_baked()Curve2D.get_baked_length() 方法。首次调用两者之中的任意方法都会触发内部对曲线的烘焙。

匀速遍历, 然后, 可以用下面的伪代码:

var t = 0.0

func _process(delta):
    t += delta
    position = curve.interpolate_baked(t * curve.get_baked_length(), true)

并且输出, 然后匀速移动:

../../_images/bezier_interpolation_baked.gif